长期以来，科学家将晶体结构与原子以重复的晶格状模式有序排列联系在一起，认为这是最稳定的结构。然而，到了 20 世纪 60 年代，晶体学的进步揭示了不符合传统模型的材料。这些结构表现出非周期性或非重复模式，被称为非周期晶体。

非周期晶体有两种类型：准晶体 (QC)，其表现出有序但非周期性的排列;以及非相称 (IC) 调制结构，其中三维周期性晶格结构因空间变化或调制而扭曲。这些材料具有与通常的周期性晶体不同的特性，但它们之间的关系在很大程度上仍未得到探索。

在《自然通讯》杂志上发表的一项研究中，东京工业大学物理系副教授 Akihisa Koga 领导的研究人员构建了一个局部周期性蜂窝结构。他们根据金属平均值(众所周知的黄金和白银比率的泛化)在二维空间中排列小(S)和大(L)六边形以及平行四边形(P)瓷砖，引入调制以生成代表不相称调制结构的蜂窝状平铺图案。

Koga 说道：“我们提出了蜂窝晶格的六方金属平均近似值，它弥合了准晶体和不相称调制结构之间的差距。”

非周期性与晶格中原子位置之间的距离密切相关。在准晶体中，这些距离被定义为由两个长度尺度锁定的无理数，而在 IC 调制结构中，它们并不固定。研究人员采用非周期近似来排列晶格内的平铺。他们根据金属平均值(例如黄金平均值、银平均值和青铜平均值)改变晶格中的特征无理数。具体来说，他们排列瓷砖，使长边(代表大六边形的大小)和短边(基于小六边形和平行四边形瓷砖的边长)之间的比率对应于不同的金属平均值。

最初，以黄金分割作为长度比来排列瓦片，结果产生了由平行四边形包围的大六边形瓦片和较小的六边形瓦片，从而形成有序但非周期性的准晶体结构。然而，随着金属平均比的增加，较大的六边形瓦片开始聚集在一起，形成蜂窝状域，被认为是 IC 调制结构。

研究人员使用 ISP(I：聚异戊二烯、S：聚苯乙烯和 P：聚(2-乙烯基吡啶))三嵌段三元共聚物识别了聚合物中的金属平均平铺图案。从聚合物的透射电子显微镜图像中，他们观察到聚合物的排列可以用 L、P 和 S 平铺表示，其中 L 平铺的规则区域位于中心，P 平铺位于其左侧。P 平铺被解释为标记 L 平铺不同方向之间过渡的双边界。

这种平铺模式也在胶体粒子中观察到。研究人员模拟了 10,000 个胶体粒子与 Lennard-Jones-Gauss 势相互作用的行为，发现粒子的理想排列是金属平均平铺，由上下三角形组成。

“我们的研究强调了非周期近似在采用 P31m 平面群的自组装软物质系统中诱导调制的有效性。具体来说，我们利用 P 瓦片行作为蜂窝晶格中的域边界，从而连接金属平均六边形 QC 和 IC 调制蜂窝晶格，”Koga 说。“这些发现为非周期晶体领域及其对各个领域域壁结构的更广泛影响提供了见解。”