在复变函数的学习中，我们常常会遇到形如 \( z^n \) 的表达式，其中 \( z \) 是一个复数，而 \( n \) 是整数。今天，让我们一起探索这个有趣的数学世界！🔍

首先，当 \( n > 0 \)，\( z^n \) 表示将复数 \( z \) 自身相乘 \( n \) 次，这和实数幂运算类似。例如，如果 \( z = 1 + i \)，那么 \( z^2 = (1+i)^2 = 2i \)。🌈

但当 \( n < 0 \) 时，情况变得更加奇妙！此时 \( z^n = \frac{1}{z^{-n}} \)，意味着我们需要取 \( z \) 的倒数后再进行幂运算。比如，若 \( z = 2-i \)，则 \( z^{-1} = \frac{1}{2-i} \)，通过分母有理化可得 \( z^{-1} = \frac{2+i}{5} \)。💡

此外，在复平面上，\( z^n \) 还具有旋转与缩放的效果。每当 \( n \) 增加或减少，都会使 \( z \) 在复平面上绕原点旋转并改变大小。这种特性使得复数幂运算成为研究周期性和对称性的重要工具。💫

掌握这些基本概念后，你会发现复变函数的世界既复杂又迷人！💪继续加油吧！🚀