在今天的笔记中，我们来聊聊格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）和施密特标准正交化（Schmidt Orthonormalization）。这两个概念是线性代数中的重要工具，它们帮助我们将一组向量转换成一组正交或标准正交的向量。这不仅在理论研究中有重要作用，在实际应用中也极为常见，比如在机器学习、计算机图形学等领域。

首先，让我们回顾一下正交向量的概念。如果两个向量的点积为零，则称它们是正交的。而标准正交向量集则是在正交的基础上，每个向量的模长都为1。这使得计算变得更加简单和直观。

接下来，我们来详细了解一下格拉姆-施密特正交化的过程。这个过程的核心思想是从一组基出发，通过逐步投影和减法操作，构建出一组新的正交基。这个方法简单直观，非常适合于手动计算和理解。

最后，我们来看看施密特标准正交化的过程。在完成正交化之后，只需将每个正交向量除以其模长，就可以得到标准正交向量集。这个步骤虽然简单，但非常重要，因为它使得我们能够进一步简化计算。

希望这篇笔记能帮助大家更好地理解和掌握格拉姆-施密特正交化和施密特标准正交化的概念和应用。📚✨